肖争艳编著的精算模型（第二版）的课后习题答案。大概地搜了一遍，并没有发现完整度可以媲美的下载资源。希望可以帮到需要的朋友，自学的时候用处很大。
10001000=49980.760.019615247.X是服从[0,100J均匀分布,计算TVaR.95(X)解:我们通过方程的方式来解决,对于X,第100p的百分位数为100p,所以,100ydyTVaR.95(X)=001 9350-45.12597.51-0.950.05然而,这个结果很直观,对于一个给定的均匀分布,95和100之间的条件期望就是它的中间点8.X服从一个均值为1000的指数分布,计算TVaR.s(X)和TVaR9(X)。解:使用公式可得TVaR.9(X)=1000(1-lno.05)=3996TVaR0.9(X)=1000(1-ln0.01)=56059.X是一个用来表示损失的随机变量。X服从一个参数为0=1000,a=2,b=1的贝塔分布。计算TVaR.9(X)。解:这个贝塔分布的密度函数为f(x)=2x/10002(0≤x≤1000)。首先我们计算0%的分位数F(x)201002=(10000.9,x=1000√0.9超出x=1000√0.9的部分为(1-p)TVaR0.9(X)10002cd97.4567l000除以1—p=0.1,我们得到974.567。同样的结果可以通过方程解出:F(x)1000p,x=1000√整合可得(1-p)TVaR9(X)=1000ydy=20001-0.932=974.5670.910.对于服从分布F,概率密度函数为∫的随机变量X1与服从分布F2,概率密度函数为f2的随机变量X2,如何判断两种分布的尾部解:(1)X1是否趋于有比X2更多的正数阶矩。(2)两个概率密度函数的比值f1/f2是否会趋于无穷。(3)X1的危险率函数是否比X2的危险率函数增长速度更快(4)X1的平均剩余寿命是否比X2的平均剩余寿命增长更快11.使用合适的指标比较下列分布的尾部:(1) Loglogistic分布与伽玛分布;(2) Paralogistic分布与对数正态分布;(3)逆指数分布与指数分布。解: Loglogistic分布只有正数阶矩,而伽玛分布都有,所以 Loglogistic分布比伽玛分布有更厚的尾部。Paralogistic分布只有正数阶矩,而对数正态分布都有,所以 Paralogistic分布比对数正态分布有更厚的尾部。逆指数分布没有k≥1的k阶矩,而指数分布都有,所以逆指数分布比指数分布有更厚的尾部。12.已知X的密度函数为f(x),f(x)=500000/x3(x>500)(参数a=2的单参数帕累托分布);Y的密度函数为g(y),g(y)=yey0250000(参数a=2,O=500的伽玛分布)。证明基于危险率检验,X比Y厚尾解:单参数帕累托分布的危险率函数用下面的公式很容易计算h(x)dIns(x)InS(x)=a(ln0-Inx)dIns(x) adx因为h2(x)为x的递减函数,所以帕累托分布是厚尾分布对于伽玛分布,注意到f(t)dtf(x ydh(x) f(x)f(x)因此当y给定时,若∫(x+y)/∫(x)对于x递增,则1/h(x)对于α递增,也就是说,随机变量的危险率函数是递减的。对于参数α=2,θ=500的伽玛分布,+y)(x+y)-e(x+y)/0f(x)/0e因此h(x)对于x是严格递增的,这是一个薄尾分布第2章习题解答1.假设某险种在2009年的实际损失额服从离散分布,P(X=1000k)=1/6(k=1,6)。保单上规定每次损失的免赔额为1500元。假设20092010年通货膨胀率为5%,2010年的免赔额提高为1600元,求2010年每次赔偿的理赔额期望是多少;与今年相比,增长率是多少。解:由X的分布计算得到E(X)1(1+2+3+4+5+6)×1000=3500E(X∧1500)=1×1000+5×1500=1416.67E(xA21600656×1000+16001436.508052009年每次事故的理赔额期望为:E200(Y)E(X)-E(X∧1500)3500—1416.6671-Fx(1500)25002010年每次事故的理赔额期望为:1.05E(X)-E(X11600(2010)01.05×(3500—1436.508)26001-F600(2010)2600E(20025001.04故增长率为4%。2.假设某险种的实际损失额X的分布密度函数为f(x)=0.04xe2(x>0)。已知免赔额为30,求每次损失事故中的平均赔付额E(Y)。解:【方法一】由X的密度函数知,X服从参数a=2,0=5的伽玛分布。E(X)=5×2=10由伽玛分布的性质知E(X∧30)=2×5r(3;6)+30[1—r(2;6)其中r(3;6)=1-△1-25er(2;6)=1-(1+6)e6=1-7e6故E(X∧30)=2×5(3;6)+30[1-r(2;6)]=10-40e-6又Fx(30)=(2;6)=1-7e6故每次损失事件赔付额的期望为:E(Y)=E(X)-E(X∧30)=10-(10-40e6)=40e6=0.099【方法二】若不熟悉伽玛函数的性质,则先计算F(X0.04te0.2dt=1-(0.2x+1)eE(X∧30)=(1-F(x)dx=0.2ce2dx+e2dx=10-40e6故每次损失事件赔付额的期望为E(Y)=E(X)-E(X∧30)=10-(10-40e6)=40e6=0.0993.设某险种的实际损失额为Ⅹ,E(X)=500。当免赔额为d时,投保人的损失消失率为ler(d)ELX∧d当d=200时,已知LER(200)=25%且P(X≤200)=0.4。求E(XX≤200)。解由LER(200)E(X∧200)E(X),及E(X)=500,得E(X∧200)=125又因为ELX∧200]=E[XA200X>200P(X>200)+ELXA200X≤200P(X≤2000.6ELX∧200X>200]+0.4ELX∧200X≤2000.6×200+0.4E(XX≤200)125故E(XX≤200)=12.54.假设某险种的实际损失额的分布满足下面的性质TFcrE(X∧x)0.5100.6622.50.89.532.50.91120(1)已知免赔额为10,求理赔额的期望。(2)现将免赔额提高到使得P(X>a)=0.5P(X>10),求理赔额提髙的比例(3)若明年的通货膨胀率为50%,免赔额为15,求理赔额的期望解:(1)由表中的数据得E(X)=E(X∧∞)=20E(X∧10)=6Fx(10)=0.6故理赔额的期望为:ECE(X)-E(X∧10)14(2)因P(X>10)=0.4,故P(X>d)=0.2,则d=22.5E(Y)E(X)-E(X∧22.5)20-9.552.51-Fx(22.5)1-0.8理赔额提高比例:52.5351=50%(3)若明年的通货膨胀率为50%,则明年理赔额的期望为20-E(X∧E(Y)=1.5×1.5×E(X)=E(XA10Fx(10)52.51一F已知某险种的实际损失额的分布为对数正态分布,p=5和G=2,每年平均有10起损失事件发生。已知今年免赔额为1500元。若明年的通货膨胀率为20%,免赔额保持不变,明年平均会有多少起理赔事件发生?解:由题意知lnX~N(5,22),则P(1.2X>1500)=P(lnX>ln1500-ln1.2)PlnX-5~ln1500-lnl.2-5=PLZ>1.0651—Φ(1.065)0.1435故E(N)=0.1435×10=1.4356.假设某保险的损失额服从指数分布:e 150保单规定免赔额为100元,赔偿限额为1000元,比例分担系数为0.8。计算E(Y)和E(r解:X的分布函数为Fx(x)=1-e,由公式E(XA)=(1-Fx(x)dx=150(1-e得E(X∧100)=150(1-e-10050)=72.987E(X∧1100)=150(1-e10)=149.902故每次损失事件的实际平均赔付额为E(Y)=a[E(X∧1100-E(X∧100)]=0.8×(149.902-72.987)=61.53每次赔偿事件的实际平均理赔额为:E(Y)E(Y“)1-Fx(100)e-1119.857.某险种保单在2009年的损失额X满足下面的分布性质E(X∧d)=-0.025c2+1.475-2.25,d=10,11,12,…,26假设2010年的保单损失额比2009年提高10%。保单规定赔偿高于免赔额11的全部损失,最高的赔偿金额为11。计算2010年的平均理赔额与2009年平均理赔额之比。解:设ⅹ表示2009年的损失额,Y表示2009年每张保单的理赔额。由保单规定赔偿高于免赔额11的全部损失,最高的赔偿金额为11可知8X≤11X-11,11<X≤22=(X∧22)—(X∧11)X>22E(Y)=E(XA22)-E(XA11)(-0.025×222+1.475×22-2.25)—(-0.025×112+1.475×11-2.25)(18.10-10.95)7.152010年,保单损失额比2009年提高10%,但免赔额和最高赔偿金额没有变化,因此2010年的保单理赔额可以表示为1.1X≤11Y′=1.1X-11,11<1.1X≤22=1.1[(X∧20)-(XA10111.1X>22E(Y)=1.1×[E(X∧20)-E(X∧10)]1.1X[(-0.025×202+1.475×20-2.25)—(-0.025×102+1.475×102.25)]1.1×(17.25-10)7.975因此,2010年每张保单的平均理赔额比2009年提高了(7.15-1)×100=1.5%。8.设某险种一张保单的实际损失的分布函数为f(x)=0.02(1-q+q×0.02x)e00,x>0假设保单规定免赔额为100,则理赔额的期望为200。若免赔额提高到200,理赔额的期望等于多少?解:由损失的分布密度函数知,X的分布由指数分布和伽玛分布混合而成,即f(x)=(1-q)(0.02e02x)+q(0.022xe02x)X的分布函数为FCrf(y)dy=1-(1-q)e0-q(0.02x+1)e002对于免赔额d,理赔额Y=X-d|x>d的分布密度函数为fr(x)=f(x+d)0.02(1-q+q×0.02(x+d)e02(+(1-q)e0+q(0.02d+1)e0020.02(1-q+q×0.02(x+d)e002r(1-q)+q(0.02c+1)q+0.02qdq(0.02a+1(1-q)+q(0.02a+1)(0.02)2xe-0.02Y的分布由指数分布和伽玛分布混合而成。当d=100时,有200=1+q1+20150+2100+2a解得0.6当d=200时,有E(1-q+0.02qd(1-q)+q(0.02a+1)50+(1-q)+q(0.02+1)100=「1,g+4q1×50+「1×100+4q10071.439.设某险种在2009年每张保单的损失为X,对0≤d≤1000,有下列关系式立ELX Ad]=(2000d-d2)/2000若保单规定保险人支付损失超过100元部分的80%,保单限额为1000元(1)每份保单的平均赔付额是多少?(2)假设2010年该险种的每份保单损失提高5%,每份保单的平均赔付额相应提高多大比例?解(1)设Y*表示保单的赔付额,由题意得,保单限额为1000,保单所覆盖的最大损失是1350元。x≤100Y=0.8(x-100),100<x≤13501000,1350故E(Y)=0.8E[(1350∧x)-(x∧100)]=0.8[E(1350∧x)-E(x∧100)0.8×(438.75-95)275(2)2010年赔付额的期望为:E[Y(20=0.8EL(1350∧1.05)-(1.05x∧100)=0.8×1.05/E/13501001.05M-ExAlO50.84×(459.18—90.703)=309.52410
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